Genauigkeitsvergleich der verschiedenen Methoden

Im folgenden wollen wir die Genauigkeit der verschiedenen Methoden an mehreren Beispielen testen. Zum Vergleich ziehen wir aber nur die Visiermethode, die Keplersche Lösung und die der Integralrechnung als Kontrollinstrument heran, da sich erwiesen hat, daß keine der praktischen Lösungen die Aufgabenstellung erfüllt.



Vergleich der Genauigkeit anhand einiger Beispiele
Beispiel 1
Beispiel 2
Beispiel 3
Beispiel 4
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Ergebnis
Die einzelnen Methoden:

Zur Visiermethode

Zur Keplerschen Faßregel

Zur Integralrechnung


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Beispiel 1
Als Randkurve wählen wir das Schaubild der Funktion im Intervall von  -1,5 bis 1,5:

Diese Kurve dürfte Ihnen schon bekannt vorkommen, wir haben sie schon bei der Vorstellung der Integralrechnung verwendet, nur hatten wir da einen kleineren Bereich, nämlich im Intervall von -1 bis 1 gewählt. Nun wollen wir Genauigkeit der einzelnen Methoden exemplarisch an dieser Kurve überprüfen.




1) Integralrechnung
Da uns die Integralrechnung das genaue Ergebnis liefert, wollen wir unsere Berechnungen mit ihr beginnen, um das Ergebnis später als Vergleichsgröße heranziehen zu können. Für das Volumen erhalten wir

V = = 31.22694010 RE (=Raumeinheiten).


2) Visiermethode
Als Abstand zwischen Spundloch und unterster Bodenecke messen wir s = 3.750520797 LE (=Längeneinheiten). Daraus ergibt sich nach der Formel V = 0,6 s³ für das Volumen

V = 31.65380950 RE.

Das ist also eine Abweichung von 0,4268694 RE bzw. von ungefähr 1,37%.



3) Keplersche Lösung
Der Deckelradius des Fasses mit der obigen Randkurve ist f(-1,5) = 1,4375 LE, der Bodenradius mißt ebenfalls 1,4375 LE, der Mittelradius ist f(0) = 2.

Für das Faßvolumen erhalten wir V = 31.29320808 RE.

Die Abweichung beträgt nur noch 0,06626798 RE bzw. etwa 0,21 %.

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Beispiel 2

Unser nächstes Faß hat die Kurve der Funktion im Intervall von -1,5 bis 1,5 als Mantelinie.






1) Integralrechnung
Der genaue Rauminhalt des Fasses lautet nach der Berechnung mit Hilfe der Integralrechnung

V = = 7.806735026 RE.

2) Visiermethode
Nach dieser Methode bekommen wir folgendes Ergebnis:

V = 7.123114014 RE.

Hier müssen wir eine Abweichung von 0,683621012 RE bzw. 8,86 % hinnehmen.



3) Keplersche Lösung
Die Keplersche Formel gibt uns dieses Volumen an:

V = 7.823302019 RE.

Man errechnet dann ein Unterschied von 0,0165666993 RE bzw. von 2,1 %.

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Beispiel 3


In diesem Beipiel benutzen wir die Kurve der Funktion als Randkurve, wobei wir sie auch im Intervall von -1,5 bis 1,5 betrachten.

1) Integralrechnung
Mit diesem Lösungsweg berechnen wir für das exakte Volumen

V = = 4.996310416 RE.



2) Visiermethode
Wir messen einen Abstand vom Spundloch zur untersten Bodenencke von s = 2.034852575 LE. Daraus errechnet sich ein Volumen von V = 5.055336868 RE.

Das ist eine Abweichung von 0.059026452 RE bzw.1,18%.


3) Die Keplersche Lösung
ist wieder einmal genauer als die Visiermethode: Mit einem Volumen von V = 5.006913292 RE beträgt die Abweichung nur 0,010602876 RE oder 0,21%.

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Beispiel 4
Nun beschreiben wir die Mantellinie eines Fasses durch das Schaubild der Funktion im Bereich von -3,5 bis 3. Dies stellt nun ein Faß dar, dessen Deckel und Boden verschieden groß sind.





1) Integralrechnung
Wir beginnen wieder mit der Integralrechnung, um die exakte Lösung an den Anfang stellen zu können, denn das eröffnet uns die Möglichkeit, diese als Vergleichsmaßstab anzusetzen. Diese exakte Lösung ist

V = = 68.25353841 RE.



2) Visiermethode
Hier wird das Ergebnis wieder ungenau: Für den Abstand messen wir s = 4.870847591, daraus errechnet sich ein Volumen von V = 69.33697212 RE.

Dies entspricht einer Abweichung von  1,08343371 RE oder 1,59 %.



3) Keplersche Lösung
Wieder einmal ist dies die bessere Näherung: 68.38761788 RE sind ein respektables Ergebnis. Denn das stellt eine Abweichung von nur 0,13407947 RE oder weniger als 0,20 % dar.




Ergebnis

Abschließend können wir feststellen, daß die Keplersche Faßregel in allen vier Beispielen deutlich genauere Ergebnisse geliefert hat als die Visiermethode.


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